M/M/1待ち行列モデルを用いたサービス効率のシミュレーション評価

Jan 1, 2026 Academic

#queuing-theory #mm1-model #operations-research #simulation

背景 (Background)

スーパーのレジでの長い順番待ちや、人気テーマパークのアトラクションの待機列、さらにはインターネット上でのウェブサイトへのアクセス集中（サーバーダウン）。これら「順番待ち」の現象は、私たちの生活の利便性やシステムの安定性を大きく左右する問題です。「レジを1つ増やせばどれくらい待ち時間が減るのか？」「顧客の到着ペースが上がったとき、システムはいつ限界を迎えるのか？」。これらを直感や経験ではなく、確率と統計の力を用いて数学的にモデル化し、予測・最適化するのが「待ち行列理論」です。本プロジェクトでは、この理論の代表格である「M/M/1モデル」を実際の店舗や整備工場に当てはめ、見えない「待ち時間」をコンピュータシミュレーションによって可視化し、サービス効率改善のための科学的なアプローチを実践します。

導入

本プロジェクトでは、待ち行列理論、特にM/M/1モデルを応用して、自動車整備工場およびスーパーマーケットのレジにおけるサービス効率と待ち行列長を評価する。また、複雑なシステムを解析するためのメタヒューリスティック最適化手法（焼きなまし法、蟻コロニー最適化法）や、エージェントベースモデルの実例についても調査し、システムシミュレーションの有用性を総合的に考察する。

自動車整備工場の待ち行列モデル概念図

スーパーマーケットのレジ待ちモデル

自動車整備工場の待ち行列分析

自動車整備工場において、整備のために自動車が15分間隔の指数分布で到着し、FCFS（先着順）で整備が行われる状況を想定する。一台ずつ整備が行われ、一台当たり平均12分かかるとする。工場には5台分の駐車場があり、整備まで待つことができる。この状況は上限容量のあるM/M/1モデルとして定式化できる。

問題の設定から、以下のパラメータを導出する。

平均到着間隔 $1/ λ = 15$ 分より、到着率 $λ = \frac{1}{15}$
平均サービス時間 $1/ μ = 12$ 分より、サービス率 $μ = \frac{1}{12}$
利用率 $ρ = \frac{λ}{μ} = \frac{12}{15} = 0.8$

工場に $k$ 台の自動車がある確率

工場に滞在できる最大数は、整備中の1台と駐車場で待機できる5台を合わせて $N = 6$ 台である。したがって、 $M / M /1 (6)$ モデルの定常状態確率の公式を用いる。

p_{k} p_{k} = \frac{1 - ρ}{1 - ρ ^{N + 1}} ρ^{k} = \frac{1 - 0.8}{1 - 0. 8 ^{7}} 0. 8^{k} (k = 0, 1, \dots, 6) \approx \frac{0.2}{0.7903} 0. 8^{k} = 0.253 \times 0. 8^{k}

これにより、工場に $k$ 台の自動車がある確率は $0.253 \times 0. 8^{k}$ となる。

工場にある車の平均台数 ( $L$ )

単一待ちモデルの平均系内人数 $L$ の公式を用いる。

$L = \frac{ρ}{1 - ρ} \frac{1 - ( N + 1 ) ρ ^{N} + N ρ ^{N + 1}}{1 - ρ ^{N + 1}}$

値を代入すると以下のようになる。

$L = \frac{0.8}{0.2} \frac{1 - 7 ( 0. 8 ^{6} ) + 6 ( 0. 8 ^{7} )}{1 - 0. 8 ^{7}} = 2.146 台$

工場にある車の平均台数は2.146台である。

整備待ち自動車の平均台数 ( $L_{q}$ )

$L_{q}$ の公式を用いる。

$L_{q} = \frac{ρ ^{2}}{1 - ρ} \frac{1 - N ρ ^{N - 1} + ( N - 1 ) ρ ^{N}}{1 - ρ ^{N + 1}} = 1.399 台$

整備待ち自動車の平均台数は1.399台である。

工場での平均待ち時間 ( $W$ )

リトルの公式 $L = λ_{a} W$ を用いる。ここで $λ_{a}$ は実質到着率である。

$λ_{a} = λ (1 - p_{N}) = \frac{1}{15} (1 - p_{6}) = 0.06225$

$W = \frac{L}{λ _{a}} = \frac{2.146}{0.06225} = 34.47 分$

工場での平均待ち時間は34.47分間となる。

整備待ち自動車の平均待ち時間 ( $W_{q}$ )

求めた $λ_{a}$ を用いて計算する。

$W_{q} = \frac{L _{q}}{λ _{a}} = \frac{1.399}{0.06225} \approx 22.47$

整備待ち自動車の平均待ち時間は22.47分間である。

スーパーマーケットのレジ待ち時間評価と改善策

あるスーパーマーケットの店舗設計において、レジの数が1つで問題ないかどうか検討する。レジ台数が1台であり、収容能力に十分な余裕があると考えられるため、単一窓口の待ち行列モデルである $M / M /1 (\infty)$ を設定する。客の到着率を $λ$ 、レジのサービス率を $μ$ とし、利用率を $ρ = λ / μ$ とする。

1日の平均来客数を参考に、1時間当たりの到着率 $λ$ は約25人/時間と設定した。また、レジにおける1人当たりの平均サービス時間は120秒（ $μ = 30$ 人/時）と仮定する。待ち時間が120秒を超えると客は不快感を感じるとされているため、この閾値を超過する条件を明らかにする。

1時間当たりの来客数: $λ = 25$ [人/時]
平均サービス時間: 2分 $\to μ = 60/2 = 30$ [人/時]
利用率: $ρ = 25/30 \approx 0.833$

この時の平均待ち時間 $W_{q}$ は以下の通りである。

$W_{q} = \frac{ρ}{μ ( 1 - ρ )} = \frac{0.833}{30 ( 1 - 0.833 )} = 0.166 時間$

秒に換算すると $0.166 時間 = 600$ 秒となり、許容限界の120秒を大幅に超えてしまう。待ち時間 $W_{q} = 120 秒 > 1/30 時間$ となる条件を求める。

$\frac{ρ}{μ ( 1 - ρ )} > \frac{1}{30}$

$μ = 30$ の場合、以下のようになる。

$\frac{ρ}{30 ( 1 - ρ )} > \frac{1}{30} \to ρ > 0.5$

つまり、来客数がサービス能力の半分（ $λ > 15$ 人/時）を超えると、客の待ち時間は不快感を感じる閾値を超える。客が不快感を感じる待ち時間の閾値を $T = 120 [秒] = 1/30 [時間]$ とし、これを常数として扱う。不快感を与えないための条件は以下の不等式で表される。

$W_{q} = \frac{ρ}{μ ( 1 - ρ )} \leq T$

この不等式を $ρ$ について解くと、臨界利用率 $ρ_{0}$ を導出できる。

$ρ \leq \frac{μ T}{1 + μ T} = ρ_{0}$

改善策1：キャッシュレス決済の導入によるサービス率の向上

キャッシュレス決済を導入し、現金の受け渡し時間を短縮することで、平均サービス時間を120秒から80秒（ $μ = 45$ [人/時]）に改善すると仮定する。このとき、到着率 $λ = 25$ における利用率は $ρ = 25/45 \approx 0.556$ となる。平均待ち時間 $W_{q}$ は以下の通りである。

$W_{q} = \frac{ρ}{μ ( 1 - ρ )} = \frac{0.556}{45 ( 1 - 0.556 )} \approx 0.0278 [時間]$

秒に換算すると約100秒となり、120秒を下回るため、単一レジでもキャッシュレス導入によって不快感を解消可能であると考えられる。

改善策2：レジ台数の増設

レジを2台に増やし、1つの行列で待機する $M / M /2$ モデルを想定する。パラメータは $s = 2, λ = 25, μ = 30$ 、 $u = λ / μ \approx 0.833$ 、利用率 $ρ = u / s \approx 0.417$ である。公式を用いて計算する。

窓口が空いている確率 $p_{0}$ : $p_{0} = [\sum_{j = 0}^{1} \frac{u ^{j}}{j !} + \frac{u ^{2}}{2 ! ( 1 - ρ )}]^{- 1} = 0.412$

平均待ち時間 $W_{q}$ : $W_{q} = \frac{p _{0} u ^{s} ρ}{λ s ! ( 1 - ρ ) ^{2}} = 0.007 [時間] = 25.2 [秒]$

新たなレジを追加し $M / M /2$ モデルとすることで、待ち時間は大幅に改善されることが分かる。

改善策3：セルフレジの複数台導入

レジ係のコスト削減のため、全てセルフレジ化することを考える。客が操作に不慣れであることを想定し、平均サービス時間を180秒（ $μ = 20$ [人/時]）に低下すると仮定し、設置台数を2台（ $s = 2$ ）とする。

このとき、 $u = 25/20 = 1.25$ 、利用率 $ρ = u / s = 1.25/2 = 0.625$ となる。定常状態確率 $p_{0}$ および平均待ち時間 $W_{q}$ の計算は以下の通りである。

窓口が空いている確率 $p_{0}$ : $p_{0} = [1 + u + \frac{u ^{2}}{2 ! ( 1 - ρ )}]^{- 1} = 0.231$

平均待ち時間 $W_{q}$ : $W_{q} = \frac{p _{0} u ^{2} ρ}{λ \cdot 2 ! \cdot ( 1 - ρ ) ^{2}} = 0.0321 [時間]$

秒に換算すると $115.4$ 秒となり、不快感の閾値（120秒）をわずかに下回る。

まとめると、現状のレジ1台では混雑時に待ち時間が約10分になってしまう。対策1のキャッシュレス決済によりサービス能力を高めることで閾値内に収まるが、利用率は依然として高く余裕は少ない。一方で対策2や対策3のように窓口数を増やすことで、たとえ1台あたりのサービス能力が低下したとしても、システム全体の待ち時間を大幅に改善できる。

メタヒューリスティック最適化手法の調査

遺伝的アルゴリズム以外の主要なメタヒューリスティック最適化手法として、物理現象を模倣した焼きなまし法と、生物の挙動を模倣した蟻コロニー最適化法について調査した。

焼きなまし法

焼きなまし法は、固体の退火過程において高温状態から徐々に冷却することでエネルギーが小さい状態へ落ち着く現象を模倣する手法である。解の更新において、目的関数が悪化する遷移であっても、温度 $T$ に依存してある確率で受理できる点が特徴である。これにより局所最適解からの逸脱が可能となり、大域的に良い解の探索が期待できる。

目的関数を $f (x)$ （最小化）とし、現在解 $x$ の近傍から候補解 $x^{'}$ を生成する。 $Δ = f (x^{'}) - f (x)$ とすると、更新は以下に従う。

$Δ \leq 0$ のとき、 $x \leftarrow x^{'}$ とする。即ち、必ず受理になる。
$Δ > 0$ のとき、確率 $exp (- Δ/ T)$ で $x \leftarrow x^{'}$ とする。即ち、確率受理となる。

利点としては、構造が単純で実装が容易であり多くの問題に適用できること、大域的最適解へ収束する可能性があることが挙げられる。欠点としては、温度の下げ方などのハイパーパラメータの調整が難しいこと、一点探索であるため計算時間が増大しやすいことが挙げられる。適用分野としては、巡回セールスマン問題などの組み合わせ最適化問題や、機械学習におけるハイパーパラメータ調整などがある。

蟻コロニー最適化法

蟻コロニー最適化は、蟻が採餌行動の中で経路上に化学物質を残し、その情報を手がかりとして集団として良い経路を見つける仕組みを模倣した手法である。候補解を構成する際にフェロモン量とヒューリスティック情報を併用し、多数のエージェントが並列に探索して得られた良い解を経路更新として反映する。

利点としては、分散的・並列的に探索でき、グラフ構造を持つ問題に適用しやすい点や、環境変化に対してフェロモン更新により柔軟に対応できる点が挙げられる。欠点としては、特定の解へ早期に偏って探索が停滞することがある点や、連続値最適化への適用には工夫が必要となる点がある。適用分野としては、ネットワークの経路設計、配送計画問題、巡回セールスマン問題などがある。

エージェントベースモデルによる感染症シミュレーション

エージェントベースモデルの活用事例として、荻林先生の「免疫及び抗体を考慮したエージェントベース感染モデル」を調査した。このモデルは、感染過程の単純化にとどまらず、病気の回復過程を医学的知見に基づいてモデル化している点が特徴である。個人免疫力の差と回復過程のメカニズムを組み込み、パンデミックの拡大と収束のプロセスを再現している。

シミュレーション環境として2次元空間を想定し、2000の個体を配置する。各エージェントは空間内をランダムに移動し、感染者との距離が一定範囲内にある場合に感染する。免疫によるウイルス排出の過程で抗体が生成され、体温上昇によって免疫力が変動する仕組みが取り入れられている。

解析の結果、パンデミックの収束にはウイルスの増殖率が決定的な影響を及ぼすことが示された。特に、従来のモデルとは異なり、体温上昇による免疫力の向上が収束に重要であり、抗体の発生は二次的な効果であることが指摘されている。エージェントベースモデルは、ミクロな個体の行動規則からマクロな統計データを再現し、複雑な現象のメカニズム解明に有効であることが確認できる。

結論と考察

シミュレーション論は現実世界の複雑な現象を理解するうえで極めて重要である。確率論に基づく待ち行列理論による解析的アプローチは、システムのボトルネックや効率性を定量的に評価するために強力な手法である。到着率やサービス率という単純な仮定の下でも、モデルの解析結果からシステム設計に対する有益な指針を得ることができる。

一方で、解析的手法では扱いきれない複雑な問題に対しては、メタヒューリスティック手法やエージェントベースモデルによるシミュレーション的アプローチが有効である。個々の要素の挙動から全体のダイナミクスを捉える視点は、理論的モデルを補完し、現実の社会システムが持つ本質的な複雑さを解明するための鍵となる。今後は、問題の性質に応じてこれらの手法を適切に選択し、問題解決に応用していく。